Content
En aquest article: Comprendre el problemaInventar una demostracióReducció d'una demostració14 Referències
De vegades és difícil demostrar. Per aconseguir-ho, cal implementar tant els seus coneixements de matemàtiques com el coneixement de l’escriptura d’aquesta demostració.Malauradament, no hi ha una manera màgica de triomfar sense esforços i la primera vegada. Heu de tenir una base sòlida en aquest material per alimentar el raonament amb els teoremes i definicions correctes. Practiqueu, llegiu demostracions, aquesta és la millor manera de ser capaç d’escriure-ho de manera brillant.
etapes
1a part Comprensió del problema
-
Identifica la pregunta. La vostra primera tasca és determinar què heu de demostrar exactament. Aquesta pregunta servirà també com a conclusió de la demostració. Preneu-vos alhora al mateix temps per identificar les hipòtesis amb què treballareu. Aquest és el punt de partida per comprendre el problema i la seva resolució. -
Feu esquemes. En matemàtiques, quan voleu comprendre els aspectes relatius a l'exercici, sovint és útil fer un esquema resum. Això és més cert en geometria, on es pot visualitzar directament el que s’intenta provar.- Utilitzeu la declaració per confeccionar el vostre diagrama. Llista dades conegudes i incògnites.
- Tingueu en compte com i quan tota la informació que pot venir en suport de la demostració.
-
Estudi. L’aprenentatge d’escriure una prova matemàtica no és evident. Per ajudar-vos, llegiu i analitzeu els teoremes relacionats amb el que esteu treballant per entendre com es construeixen.- Digueu-vos que una demostració no és en realitat més que un bon argument les afirmacions de les quals es justifiquen en cada etapa. Trobareu molts exemples als vostres llibres de text i a Internet que us poden servir de models.
-
Fer preguntes. Si teniu cap pregunta, no dubteu en preguntar-vos al vostre professor o companys de classe. Potser també es pregunten sobre alguns dels raonaments, que poden treballar junts. És millor demanar ajuda que estar sol i fumar cegament amb l’esperança d’obtenir un resultat.- Aneu a parlar amb el vostre professor després de la classe per obtenir el bon camí.
Part 2 Inventa una demostració
-
Comprendre què és una demostració. Es tracta d’una sèrie d’afirmacions lògicament ordenades recolzades per definicions i teoremes per demostrar la veritat d’una altra afirmació. Aquesta és l’única manera de saber si un raonament només és matemàticament.- El fet de poder escriure demostracions demostra indiscutiblement la vostra comprensió en profunditat del problema i els conceptes que utilitzeu per solucionar-lo.
- Aquest exercici també permet percebre les matemàtiques amb una llum nova molt interessant. Fins i tot en els casos en què no pugueu completar amb èxit les vostres demostracions, intentar us ajudarà a millorar el vostre coneixement i comprensió del vostre curs.
-
Considereu el vostre públic. No heu d’oblidar quin tipus de lector treballau i quin nivell d’enteniment es tracta. La demostració destinada a publicar-se en una revista científica i raonar en un curs de matemàtiques de secundària no està redactada de la mateixa manera.- Heu d’escriure procurant que el vostre lector pugui fer el seguiment del vostre progrés amb els coneixements que ja té.
-
Identificar el tipus de demostració. Hi ha diversos models de demostració, en triareu un segons les instruccions que us doneu i el lector a qui es dirigeix l’exercici. Si no esteu segurs de prendre la decisió correcta, demaneu ajuda al vostre professor. A l’institut, no sempre s’espera que escrigui una demostració en la seva forma clàssica.- Es pot fer una demostració en forma de taula posant a la primera afirmació de la columna i a la segona els arguments que justifiquen aquestes afirmacions. Sovint és d'aquesta manera que es procedeix a la geometria.
- En la seva forma clàssica, la prova matemàtica s’ha d’escriure amb frases gramaticalment correctes i sense cap símbol. A nivell acadèmic, això és el que caldrà.
-
Ajudeu-vos amb la demostració en dues columnes. Emplaçant el raonament en forma de taula us permetrà conèixer les línies principals de la vostra demostració abans d’escriure-la de forma clàssica. Podeu utilitzar la taula per organitzar les vostres idees i pensar la pregunta. Dibuixeu una línia verticalment al mig del vostre full i escriviu les dades conegudes i totes les vostres afirmacions a l'esquerra. Justifiqueu-los a la dreta amb l’ajuda de les definicions i teoremes correctes.- Aquí teniu un exemple.
- Els angles A i B són adjacents. Donat per la declaració.
- L’angle ABC és un angle pla. Definició de l’angle pla.
- L’angle ABC mesura 180 °. Definició de recta
- Angle A + Angle B = Angle ABC. Propietat de suma d’angles.
- Angle A + Angle B = 180 °. Substitució per un valor.
- Els angles A i B són angles addicionals. Definició d’angles addicionals
- C.Q.F.D.
-
Canviar de taula a raonament estàndard. Utilitzeu les dues columnes per escriure la demostració com un paràgraf escrit que no hauria de tenir massa símbols ni sigles.- Per exemple: A i B són angles adjacents. Per hipòtesi, els angles A i B són addicionals. En ser addicionals i adjacents, els costats dels angles A i B formen una recta. La definició d’una recta implica que delimita un angle de 180 º. A partir dels postulats referents a les sumes dels angles, podem dir que l’addició dels angles A i B ens dóna la línia ABC. La suma dels angles A i B és igual a 180 °, per tant són angles addicionals. C.Q.F.D.
Part 3 Escriu una demostració
-
Familiaritzeu-vos amb el vocabulari. Ràpidament us adonareu que determinats torns de frases tornen sense parar a les manifestacions. Heu d’aprendre a conèixer-les i fer-les servir amb saviesa per escriure amb èxit les vostres pròpies demostracions.- Les fórmules del tipus "si A és certa, aleshores B és certa" vol dir que heu de demostrar que sempre que A sigui certa, B també és necessàriament certa.
- "A és cert si i només si B és cert" significa que heu de demostrar que B i A són vertaderes i falses alhora. Així doncs, mostra que "si A és cert, llavors B és cert" i també que "si A és falsa, aleshores B és falsa".
- "A és cert només si B és cert" és una altra formulació per dir "si A és certa, B és certa". És una mica menys habitual, però encara ho heu de saber en cas de complir-lo.
- Quan escriviu la vostra demostració, utilitzeu el "nosaltres" en lloc del "activat".
-
Llista les dades conegudes. En dissenyar una demostració, la vostra primera tasca és identificar i enumerar tota la informació que proporciona la declaració. Això permet fer un balanç del que saps i del que queda per fer per arribar a la prova matemàtica. Reviseu atentament el problema i anoteu qualsevol cosa que cregueu útil.- Prenem un exemple: mostra que dos angles adjacents (A i B) són addicionals.
- El que es dóna: els angles A i B són adjacents.
- Què demostrar: els angles A i B són addicionals.
-
Definiu les variables. Un cop tingueu totes les dades conegudes davant vostre, heu de donar la definició de cada variable. Per deixar clares les coses per al vostre lector, escriviu aquestes definicions com a element inicial. Si no ho feu, potser es perdrà ràpidament en el raonament.- No utilitzeu mai variables que no s’hagin definit prèviament.
- En el nostre exemple, les variables seran les mesures dels angles A i B.
-
Continuar a la inversa. Molt sovint és molt més fàcil agafar el problema en el sentit contrari. Comença des del final, és a dir a partir de l’enunciat que estàs intentant demostrar i intenta pensar en la seqüència de passos lògics que et poden tornar al començament del raonament.- Treballau els primers i els darrers passos per veure si els podreu fer similars. Això es basa en les dades conegudes, les definicions que heu après i les demostracions similars que ja heu experimentat.
- Pregunta’t a cada pas. "Per què és així? I "Hi ha casos en què això pugui ser fals? Són preguntes molt rellevants a plantejar durant tota la vostra progressió lògica.
- No oblideu posar tots els passos en l'ordre correcte durant la redacció final.
- Prenguem el nostre exemple: si A i B són angles addicionals, vol dir que la suma de les seves mesures és de 180 °. La combinació d’aquests dos angles forma la línia ABC. Ja sabeu que formen una recta definint angles adjacents. Com que un segment de línia també correspon a un angle pla, la mesura és de 180 °. Com que l'angle de la línia és de 180 °, podeu substituir-lo per mostrar que si els afegim, els angles A i B també són de 180 °.
-
Ordeneu els vostres passos de manera lògica. Començar al començament i avançar cap a la conclusió. Tot i que és molt pràctic pensar enrere a l’hora de buscar la solució, en el moment d’escriure la demostració, heu d’anar amb compte de tornar a posar-ho tot en l’ordre correcte, amb la conclusió al final. El vostre raonament s'ha de fer pas a pas, amb justificació per a cada afirmació, de manera que el lector no té l'oportunitat en cap moment de qüestionar la validesa de la vostra demostració.- Comenceu amb els supòsits que esteu treballant.
- Utilitzeu passos senzills i evidents perquè el lector no es pregunti mai com us heu passat d’un pas a l’altre.
- No dubteu a fer diversos esborranys de la vostra demostració. Feu tantes proves com necessiteu reorganitzar els passos fins obtenir l’ordre més lògic possible.
- A partir del principi, això donarà l’exemple següent.
- Els angles A i B són adjacents.
- L’angle ABC és pla.
- L’angle ABC mesura 180 °.
- Angle A + Angle B = Angle ABC.
- Angle A + Angle B = 180 °.
- Els angles A i B són per tant addicionals.
-
Eviteu les fletxes i les abreviatures. En el moment que realitzeu l'esborrany del pla, teniu tot el dret d'utilitzar símbols i no d'escriure-ho tot. D'altra banda, en la versió definitiva, aquests elements podrien perjudicar la comprensió del lector, per la qual cosa és millor no utilitzar-los i substituir-los paraules de connexió com "així" o "conseqüentment".- L’única excepció notable d’aquesta regla és l’ús de l’acrònim C.Q.F.D (per a “què cal demostrar”) a finals d’any.
-
Justificar. Totes les vostres afirmacions han de ser recolzades per definicions, teoremes o lleis matemàtiques. Només llavors la vostra demostració serà vàlida. Cap argument és vàlid tret que vagi acompanyat d’una definició. Per veure què pot donar això concretament, no dubteu en referir-vos a demostracions pròximes a les que esteu treballant i que serviran d’exemples.- Proveu la vostra demostració intentant aplicar-la a un cas concret per al qual normalment serà fals. Si no és fals que se suposa que s'ha exclòs aquest cas concret de les condicions de la demostració, heu de replantejar el raonament.
- En geometria, les demostracions es presenten sovint com una taula de dues columnes, amb una columna per a l’argument i una altra per a la justificació. Tanmateix, la forma habitual de la demostració clàssica és un paràgraf escrit amb frases completes.
-
Acaba el C.Q.F.D. L’última frase de la manifestació hauria de ser el que intentava mostrar. Un cop escrit, finalitzeu amb l’acrònim C.Q.F.D o feu un petit quadrat de colors per indicar que el vostre treball està completat.- La fórmula del llatí Q.E.D. (quod erat demostrandum), que també significa "què demostrar".
- Si no esteu segurs si la vostra demostració és convincent, intenteu escriure algunes frases més per explicar com arribeu a aquesta conclusió i per què té sentit.