Coneixement

Com es pot factoritzar un trinomi

Posted on
Autora: Monica Porter
Data De La Creació: 16 Març 2021
Data D’Actualització: 1 Juliol 2024
Anonim
Factorización trinomios de la forma x2+bx+c | conceptos previos
Vídeo: Factorización trinomios de la forma x2+bx+c | conceptos previos

Content

En aquest article: Aprenent a factoritzar x2 + bx + Aprendre a factoritzar trinomis més complicats Alguns casos especials de factoritzacions trinòmiques6 Referències

Com el seu nom indica, un trinomi és una expressió matemàtica que pren la forma d’una suma de tres termes. Molt sovint, comencem a estudiar els trinomis del segon grau que així subscriuen: ax + bx + c. Hi ha diverses maneres de factoritzar un trinomi de segon grau. Amb la pràctica, arribareu sense cap dificultat. Els mètodes que veurem no s'apliquen als trinomis d'un grau superior (amb x o x). Tanmateix, treballant aquests últims trinomis, es pot recaure en trinomis de segon grau. Tot això ho veiem en detall.


etapes

Primera part Aprenent a factoritzar x + bx + c



  1. Utilitzeu el mètode SIDS. Potser ho sabeu, però recordem de què es tracta. Quan heu de desenvolupar un producte de binomis ((x + 2) (x + 4), per exemple, heu de sumar els productes dels diferents termes de l'ordre "Primer, extern, intern, últim". En detall, això dóna:
    • multiplicar primer termes entre ells:x+2)(x+4) = x + __
    • multiplica els termes extern entre ells: (x2) (x +4) = x + 4x + __
    • multiplica els termes interna entre ells: (x + +2)(x+4) = x + 4x + 2x + __
    • multiplicar més recent termes entre ells: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
    • Acaba simplificant: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8




  2. Comprendre què és la factorització. Quan desenvolupeu el producte de dues parelles, obteniu un trinomi de la forma: téx +bx +c, a, b i c són nombres reals. Quan fem l’operació inversa, anem del trinomi al producte binomial, diem que nosaltres factorises.
    • Per motius de claredat, cal assenyalar els termes d’un trinomi per ordre de disminució de la potència. Per tant, si us donem: 3x - 10 + x, heu de reescriure en ordre: x + 3x - 10.
    • L’exponent més gran sent 2 (x), parlem del trinomi “segon grau”.



  3. Al principi de la factorització, vam posar la forma del producte de binomis. Escriure: (__ __)(__ __). A poc a poc anirem omplint els espais que quedem lliures, així com els rètols.
    • De moment no posem cap signe (+ o -) entre els dos termes dels binomis.




  4. Heu de començar cercant els primers termes de cada parella. Si el vostre trinomi comença amb x, necessàriament els dos primers termes de les parelles x i xja que x vegades x = x
    • El nostre trinomi inicial: x + 3x - 10 i, ja que no hi ha cap coeficient a x, podem escriure immediatament:
    • (x __) (x __)
    • Veurem més endavant com es procedeix quan el coeficient de x és diferent d’1, com 6x o -x. De moment, ens queda aquest cas senzill.



  5. Intenta endevinar quins seran els darrers termes de les parelles. Revisa com, amb el mètode PEID, s’han desenvolupat els darrers termes dels binomis. Ara hem de fer el contrari. A continuació, hem multiplicat els dos últims termes per obtenir l'últim terme ("constant") del trinomi. Així, hauríeu de trobar dos nombres que, multiplicats entre ells, us donaran la constant del trinomial.
    • En el nostre exemple: x + 3x - 10, la constant és -10.
    • Quins són els factors de -10? Quins són els dos nombres que, multiplicats entre ells, us donaran -10?
    • Aquí teniu tots els casos possibles: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 i 2 x -5. Escriu aquestes combinacions en algun lloc perquè ho recordis.
    • Ara per ara, el vostre producte binomial segueix sent inalterat. Sempre sembla: (x __) (x __).



  6. Prova les diferents combinacions. A partir de la constant, heu aconseguit identificar algunes combinacions de factors, que cal treballar (si el trinomi és reduïble). En aquest moment, no hi ha altres solucions que provar cada combinació per veure si una d’elles compleix el trinomial. Per exemple:
    • En el nostre exemple, la suma del producte "extern" i del producte "intern" ha de ser 3x (pres de x + 3x - 1)
    • Prenem la combinació de -1 i 10: (x - 1) (x + 10). La suma del producte "extern" i del producte "intern" dóna: 10x - x = 9x. No funciona!
    • Preneu la combinació 1 i -10: (x + 1) (x - 10). La suma del producte "extern" i del producte "intern" dóna: -10x + x = -9x. Encara no va! Notareu de passada que aquesta última revisió va ser inútil. En efecte, la parella (-1,10) dóna 9x i la parella (1, -10) dóna -9x. Només has de provar una sola parella.
    • Prenem la combinació -2 i 5: (x - 2) (x + 5). La suma del producte "extern" i del producte "intern" dóna: 5x - 2x = 3x. Eureka! La resposta és: (x - 2) (x + 5).
    • En el cas de trinomis tan simples com aquest (començant per x), podem fer més breus. Només cal afegir els dos factors potencials, afegir "x" al final i es veu immediatament si es tracta de la combinació correcta. Allà fas: -2 + 5 → 3x. Si x està flanquejat per un coeficient, el mètode no funciona, per la qual cosa és bo recordar el mètode detallat.

2a part Aprenent a factorar trinomis més complicats



  1. Factoritza el teu trinomi en un trinomi senzill. Suposem que heu de factoritzar el trinomi següent: 3x + 9x - 30. Proveu de veure si no hi ha un divisor comú als tres termes. A continuació, agafem el més gran (si n’hi ha diversos), d’on prové el seu nom de "més gran divisor comú" (o PGCD). En el nostre trinomial serà 3. Vegem-ho en detall:
    • 3x = (3) (x)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3)(-10)
    • Així, 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Per tant, és fàcil factoritzar el segon parèntesi segons el mètode descrit anteriorment. Obtenim el següent: (3) (x-2) (x + 5). No hem d’oblidar la 3 posar en factor.



  2. De vegades no podem factoritzar nombres reals, sinó quantitats amb incògnites. Així, podem factoritzar "x", "y" o "xy". Aquests són alguns exemples:
    • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)
    • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
    • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
    • Aleshores, és clar, factoritzar el nou trinomi com vam veure anteriorment. Feu una comprovació per veure si no hi ha cap error. Feu pràctica amb els exercicis suggerits al final d’aquest article.



  3. Intenta factoritzar els trinomis amb una x flanquejada per un coeficient. Alguns trinomis del segon grau són més difícils de factoritzar, la imatge de 3x + 10x + 8. Veurem com procedim, i què podreu entrenar amb els exercicis proposats al final de l’article. Aquí és com funcionem:
    • Pregunti al producte de parelles: (__ __)(__ __)
    • Cadascun dels dos termes "Primers" ha de tenir una "x" i el producte de tots dos ha de ser 3x. Només hi ha una possibilitat: (3x __) (x __), 3 sent un nombre primer.
    • Busqueu els factors de 8. Hi ha dues possibilitats: 1 x 8 o 2 x 4.
    • Preneu aquestes combinacions per trobar les constants de les parelles. Punt important: com la "x" desconeguda té coeficients diferents, l'ordre de la combinació és important. Heu de trobar el final del centre, aquí, 10x. Aquí teniu les diferents combinacions:
    • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x no!
    • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x no!
    • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x no!
    • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x sí! Aquesta és la factorització adequada.



  4. En presència d’un desconegut amb una potència superior a 2, es pot crear una substitució desconeguda. Un dia, segur que haurà de factoritzar un trinomi del quart (x) o del cinquè grau (x). L’objectiu és tornar aquest trinomi a quelcom conegut, és a dir, a un trinomi de segon grau per factoritzar sense problemes. Per exemple:
    • x + 13x + 36x
    • = (x) (x + 13x + 36)
    • Inventeu una nova incògnita que simplifiqui el problema. Posarem aquí que Y = x. Posem una majúscula Y per recordar que és un subrogat. El trinomi es converteix llavors en:
    • = (x) (Y + 13Y + 36): factoritzem com a la primera part.
    • = (x) (I + 9) (Y + 4). És hora de substituir la substitució desconeguda pel seu veritable valor:
    • = (x) (x + 9) (x + 4)
    • = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)

Part 3 Alguns casos especials de trinomialitzacions



  1. Cerqueu possibles nombres primers. Mireu si la constant i / o el coeficient del primer o tercer terme no serien nombres primers. Recordem que es diu que un nombre és "primer" quan només és divisible per 1 o per si mateix. A partir d’aquesta definició, si trobem un nombre primari en els llocs indicats anteriorment, el trinomi només pot tenir en compte la forma d’un sol producte de binomis.
    • Per exemple, a x + 6x + 5, la constant 5 és un nombre primer, de manera que el producte binòmic serà de la forma: (__ 5) (__ 1)
    • En 3x + 10x + 8, el coeficient 3 és un nombre primer, de manera que el producte dels binomis serà de la forma: (3x __) (x __).
    • Finalment, en 3x + 4x + 1, 3 i 1 essent nombres primers, l’única solució possible és: (3x + 1) (x + 1). Tanmateix, comproveu sempre la combinació. Passa que alguns trinomis no es poden tenir en compte. Així, no es pot tenir en compte 3x + 100x + 1 (diem que és "irreductible"). Amb el 3 i l’1, mai n’obtindreu el 100.



  2. Sempre s’ha de pensar en el cas d’un trinomi que seria el desenvolupament d’una identitat remarcable, un quadrat perfecte per prendre només aquest exemple. Per quadrat perfecte ens referim al producte de dues parelles perfectament idèntiques: (x + 1) (x + 1) que escrivim (x + 1). Aquests són alguns d'aquests quadrats perfectes:
    • x + 2x + 1 = (x + 1) i x - 2x + 1 = (x - 1)
    • x + 4x + 4 = (x + 2) i x - 4x + 4 = (x - 2)
    • x + 6x + 9 = (x + 3) i x - 6x + 9 = (x - 3)
    • Un trinomi téx + bx + c és el desenvolupament d’un quadrat perfecte si té i c són si mateixos quadrats positius (com els 1, 4, 9, 16, 25 ...) i si b (positiu o negatiu) és igual a 2 (√a x √c) = 2 √ac.



  3. Mireu si és possible factoritzar. De fet, l’iI és trinomis que no es poden tenir en compte. Si es lluita per factoritzar un trinomi de la segona forma canònica ax + bx + c, perquè no hi ha arrels òbvies, haureu d’utilitzar el mètode discriminant (Δ). Aquest últim es calcula de la manera següent: Δ = √b - 4ac. Si Δ <0, el trinomi no es pot tenir en compte.
    • Per als trinomis que no siguin de segon grau, utilitzeu el criteri d’Eisenstein explicat a la secció "Consells".