Content
- etapes
- Per començar
- Mètode 1 Continua per prova i error
- Mètode 2 Procedir per descomposició
- Mètode 3 El "triple joc"
- Mètode 4 Diferència de dos quadrats
- Mètode 5 Utilitzant la fórmula quadràtica
- Mètode 6 Utilitzant una calculadora
Un polinomi està compost per una variable (x) elevada a una potència determinada anomenada grau del polinomi, i diversos altres termes de graus inferiors i / o diverses altres constants. Factoritzar un polinomi del segon grau (també anomenat "equació quadràtica") significa reduir l'expressió inicial a un producte d'expressions de graus menors que es poden multiplicar l'un per l'altre. Aquest coneixement forma part del curs de secundària i molt més, per la qual cosa aquest article pot resultar difícil d’entendre si encara no teniu el nivell de matemàtiques requerit.
etapes
Per començar
-
Escriu la teva expressió. La forma estàndard d’una equació de segon grau és:ax + bx + c = 0
Comença arranjant els termes de l’equació d’acord amb l’ordre de les potències, del més gran al més petit, com en la forma estàndard. Prenem per exemple:6 + 6x + 13x = 0
Reorganitzarem aquesta expressió per facilitar el treball simplement movent els termes:6x + 13x + 6 = 0. -
Cerqueu el formulari considerat mitjançant un dels mètodes explicats a continuació. La factorització donarà dues expressions més curtes que donaran el polinomi inicial si les multipliquem una per l’altra:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
En aquest exemple, (2x +3) i (3x + 2) ho són factors de l’expressió inicial, 6x + 13x + 6. -
Comproveu el vostre treball! Multiplica els factors que heu identificat. A continuació, combina els termes semblants i ja s'haurà acabat. Comença amb:(2x + 3) (3x + 2)
Comencem a provar aquesta expressió, multiplicant els termes de les dues expressions per obtenir:6x + 4x + 9x + 6
A partir d’aquí, podem afegir 4x i 9x perquè són termes del mateix grau. Sabem llavors que els nostres factors són correctes, ja que ens trobem bé en l'expressió de la sortida:6x + 13x + 6.
Mètode 1 Continua per prova i error
Si es tracta d’un polinomi força senzill, hauríeu de trobar la seva descomposició com a producte bàsic d’un cop d’ull. Per exemple, molts matemàtics són capaços de veure aquesta expressió 4x + 4x + 1 dóna els factors (2x + 1) i (2x + 1) per costum i amb experiència (òbviament, això no és tan senzill en el cas de polinomis complexos). Per aquest exemple, prenem una expressió menys comuna:
.
-
Feu una llista de factors de coeficients té i c. Utilitzant l’expressió del formulari ax + bx + c = 0, identifica els coeficients té i c i enumera els factors corresponents. Per a: 3x + 2x - 8, això dóna:a = 3 i té només un parell de factors: 1 * 3 c = -8 i quatre parells de factors: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, i -1 * 8.. -
Escriviu al vostre tros dos parells de parèntesis amb espai per escriure-hi. Introduïu les constants de cada expressió a l’espai proporcionat:(x) (x) -
Abans de la x, escriu un parell de possibles factors per al coeficient té. Per al coeficient té en el nostre exemple, 3x, només hi ha una possibilitat:(3x) (1x) -
A continuació, ompliu els dos espais buits restants amb un parell de factors per al coeficient c. Prenem per exemple els números 8 i 1. Anoteu-los:(3x8) (X1). -
Decidiu ara el signe (més o menys) per situar entre la x i el número que vau col·locar després d'ell. Segons el signe de l’expressió original, és possible trobar quins haurien de ser els signes de les constants. anomenada h i k les constants dels nostres factors:Si ax + bx + c llavors (x + h) (x + k) Si ax - bx - c o ax + bx - c llavors (x - h) (x + k) Si ax - bx + c llavors (x - h) (x - k)
En el nostre exemple, 3x + 2x - 8, els signes s’han de situar de la manera següent: (x - h) (x + k), que ens dóna els dos factors següents:(3x + 8) i (x - 1). -
Comproveu-ne el formulari facturat tornant a desenvolupar-lo. Una primera prova ràpida consisteix a comprovar si el terme mig té el valor adequat. Si x no és bo, potser heu escollit el parell de factors equivocats per al coeficient c. Comprovem els resultats:(3x + 8) (x - 1)
Fent una multiplicació, obtenim:3x - 3x + 8x - 8
Afegint els termes similars (-3x) i (8x) per simplificar aquesta expressió, obtenim:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Ara sabem que probablement hem identificat els factors incorrectes:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
Si és necessari, intercanvia la vostra elecció de factors. En el nostre exemple, provem 2 i 4 en lloc d’1 i 8:(3x + 2) (x - 4)
Ara el nostre coeficient c és -8, però les multiplicacions (3x * -4) i (2 * x) donen -12x i 2x, que a més no sempre donen el valor inicial de b, és a dir + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
Si cal, invertiu la comanda. Invertim en el nostre exemple el lloc de 2 i 4:(3x + 4) (x - 2)
Ara el coeficient c sempre és bo, però valen aquest cop els coeficients dels termes en x -6x i 4x. Un cop afegit, això dóna:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x Estem molt a prop del valor inicial de 2x que volem trobar, però el signe no és bo. -
Reviseu els rètols si cal. Ara mantindrem el mateix ordre, però canviarem els signes:(3x - 4) (x + 2)
El coeficient abans c sempre és bo i ara valen els termes en x (6x) i (-4x). Des de:6x - 4x = 2x 2x = 2x Així obtenim el 2x que teníem originalment. Probablement, hem trobat els factors adequats.
Mètode 2 Procedir per descomposició
Aquest mètode ens permetrà identificar tots els factors possibles per obtenir els coeficients té i c i utilitzar-los per identificar quins són els factors adequats. Si els números són molt grans o els altres mètodes d’assaig i error semblen massa llargs, podeu utilitzar aquest mètode. Preneu l’exemple següent:
.
-
Multiplica el coeficient té pel coeficient c. En el nostre exemple, té és igual a 6 i c és igual a 6.6 * 6 = 36. -
Trobeu el coeficient b mitjançant la factorització i després la prova dels factors obtinguts. Busquem dos números que siguin factors del producte té * c que hem identificat i la suma dels quals val el valor del coeficient "b" (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Introduïu els dos nombres que acabeu d’aconseguir en l’equació; Situeu-les davant de la x, de manera que la seva suma sigui igual al coeficient b. Agafem les cartes k i h per representar els dos nombres obtinguts, 4 i 9:destral + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
Factoritza el teu polinomi agrupant. Organitzeu l'equació per trobar el factor comú més gran dels dos primers termes i el factor comú més gran dels dos últims termes. Després haureu d’obtenir una suma de dues formes facturades idèntiques. Sumeu els dos coeficients i poseu-los entre parèntesis per davant de la forma facturada; aleshores obteniu els vostres dos factors:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
Mètode 3 El "triple joc"
Aquest mètode és molt similar a l’anterior. Es tracta d'examinar els possibles factors per als productes dels coeficients té i c, després utilitzeu-los per trobar el valor de b. Preneu per exemple l’equació següent:
-
Multiplica el coeficient té pel coeficient c. Com passa amb el mètode de descomposició, això ens ajudarà a identificar possibles candidats al coeficient b. En el nostre exemple, té és igual a 8 i c val 2.8 * 2 = 16. -
Trobeu els dos nombres el producte és el nombre acabat de trobar (16) i la suma dels quals doni el coeficient "b". Aquest pas és idèntic al del mètode de descomposició, és a dir, testem i rebutgem els candidats a constants. El producte dels coeficients té i c és igual a 16 i el coeficient c és igual a 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Agafa aquests dos números i substitueix-los per la fórmula del "triple joc". Agafeu els dos números del pas anterior: anem a trucar-los h i k - i introduïu-los en la següent expressió:((ax + h) (ax + k)) / a
A continuació, obtenim:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Cerqueu quina de les expressions parentètiques del numerador és divisible pel coeficient té. En aquest exemple, comprovem si (8x + 8) o (8x + 2) es pot dividir per 8. (8x + 8) és divisible per 8, llavors dividirem aquesta expressió per té i deixeu l’altra expressió tal com és.(8x + 8) = 8 (x + 1)
L’expressió que guardem aquí és la que queda després de la divisió pel coeficient té : (x + 1) -
Trobeu, si n'hi ha, un factor comú més gran en ambdós parèntesis. En el nostre exemple, la segona expressió té un factor comú més gran de 2, ja que 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combina aquesta resposta amb l’expressió que has trobat al pas anterior. Heu trobat així els dos factors del vostre polinomi.2 (x + 1) (4x + 1).
Mètode 4 Diferència de dos quadrats
Alguns coeficients dels polinomis es poden identificar com a "quadrats", és a dir com els productes de la multiplicació de dos nombres. Identificant aquests quadrats, podeu factoritzar alguns polinomis molt més ràpidament. Prenguem per exemple l’equació:
-
Comença per factoritzar tot en un factor comú més gran si és possible. En el nostre exemple, veiem 27 i 12, ambdues divisibles per 3, de manera que podem "esclatar" l'expressió inicial de la següent manera:27x - 12 = 3 (9x - 4). -
Identifiqueu si els coeficients de l’equació són nombres quadrats. Per utilitzar aquest mètode, haureu de trobar les arrels quadrades per als vostres coeficients (tingueu en compte que no considerem signes negatius, ja que es tracta de quadrats, pot ser el producte de dos nombres positius o negatiu)9x = 3x * 3x i 4 = 2 * 2. -
Utilitzant les arrels quadrades que heu trobat, escriviu els vostres factors. Preneu els valors de té i c anteriorment trobat - té = 9 i c = 4 - abans de trobar la seva arrel quadrada - √té = 3 i √c = 2. Aquests seran els coeficients de les nostres expressions facturades:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Mètode 5 Utilitzant la fórmula quadràtica
Si tots els mètodes anteriors han fallat i no podeu trobar els factors correctes per a l’equació, utilitzeu la fórmula quadràtica. Preneu l’exemple següent:
-
Preneu els valors dels coeficients "a", "b" i "c" i substituïu-los a la fórmula quadràtica següent:x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
A continuació, obtenim l’expressió:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
Resol l'equació per trobar x. Com podeu veure més amunt, haureu d'obtenir dos valors de x:
x = -2 + √ (3) o x = -2 - √ (3). -
Utilitzeu el valor de x per trobar els factors. Introduïu els valors de x obtinguts anteriorment com a constants de les dues expressions polinòmiques. Aquests seran els seus factors. anomenada h i k els valors de x, i escriu les dues formes facturades:(x - h) (x - k)
En aquest cas, el resultat final és:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
Mètode 6 Utilitzant una calculadora
Si teniu permís d’utilitzar una calculadora gràfica, tingueu en compte que això us facilitarà molt la vostra tasca, especialment durant els exàmens. Aquestes instruccions només són vàlides per a calculadores gràfiques de la marca Texas Instrument. Preneu per exemple l’equació següent:
-
Introduïu l’equació a la calculadora. Haureu d’utilitzar l ’“ equació de resolució ”, és a dir la pantalla. -
Feu una representació gràfica de la vostra equació a la calculadora. Després d’entrar a l’equació, premeu: haureu de veure que apareix la representació gràfica de la corba (més precisament, obtindreu un "arc" perquè esteu treballant en polinomis). -
Trobeu els punts d’intersecció de l’arc amb l’eix x (x). Com que les equacions polinòmiques s’escriuen tradicionalment de la forma: ax + bx + c = 0, aquests són els dos valors de x pels quals l’expressió és igual a zero:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - Si no podeu llegir els valors d'on creua la vostra corba de l'eix x, premeu llavors. Premeu o seleccioneu "zero". Desplaceu el cursor a l’esquerra d’una de les interseccions i premeu. A continuació, moveu el cursor a la dreta d’aquesta intersecció i premeu de nou. A continuació, moveu el cursor el més a prop possible de la intersecció i premeu de nou. La calculadora trobarà el valor de x. Feu el mateix següent per a l’altra intersecció.
-
Finalment, introduïu els x valors obtinguts al pas anterior en una expressió de dos factors. Si truquem h i k els nostres dos valors de x, llavors utilitzarem l’expressió següent:(x - h) (x - k) = 0
Per tant, obtindrem els dos factors següents:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
- Un llapis
- Paper
- Una equació de segon grau (o equació quadràtica)
- Una calculadora gràfica (opcional)